DDNS を更新する cron がうまく動いていないことには気付きつつも、cron 周りは実行ユーザの権限やパスやら面倒くさいことが多いので見て見ぬフリをしてきたのですが、重い腰を上げて /var/log/syslog を確認してみたら
Apr 28 00:17:01 xxxxx console-kit-daemon[31619]: CRITICAL: cannot initialize libpolkit
みたいなログがいっぱい出ていました。Web で調べてみたところ、policykit とかいうのを入れればいいらしい。
$ sudo apt-get install policykit
なんだかよく分かっていませんが、インストールしたら確かにログは出なくなりました。DDNS の更新もうまくいっているようです。